פרדוקסים

פוסט אורח מאת יוגב חדד

שבת בבוקר. הילדה (6) יושבת עם יוגורט בסלון.
נו. בדיוק הזמן להיות האבא המעצבן שהורס את הכייף עם קצת מתמטיקה.
– "טוטי, אם את מפנה את הראש, ואני לוקח לך מהיוגורט טיפטיפה בקצה הכפית בלי שאת שמה לב. כשתסתכלי שוב, את תשימי לב שחסר לך יוגורט?"
– "ממ… נראה לי ש… שלא".
ביקשתי ממנה להפנות את הראש כדי להדגים וגנבתי טיפה מהיוגורט. נראה שהמסר עבר.
– "ואם נחזור על זה שוב? תפני את הראש, אני אקח עוד ממש טיפה בלי שתרגישי ותחזרי להסתכל. את תרגישי שיוגורט חסר?"
– "לא"
– ואם שוב נחזור על זה?"
– "לא"
– "יופי. אז הבנו שלא משנה מתי, אם אני לוקח טיפטיפונת של יוגורט כשאת לא מסתכלת – זה לא יגרום לך לשים לב שקרה משהו. נכון?
– "כן"
– "אבל רגע… הרי מתישהו, אחרי הרבה הרבה פעמים כאלו רוב היוגורט יעלם! והרי ברור שתשימי לב שלא נשאר כמעט כלום, נכון??"
– "אבא?…"
– "מה?"
– "אפשר לאכול עכשיו?"

——

מאז ימי יוון העתיקה ישבו חכמי הדור ודנו בטענות שנשמעות בלתי אפשריות וסותרות את ההגיון – פרדוקסים. בכל זאת, אין פייסבוק וצריך למצוא דרך להשתעשע. אז ניגשים אל המקדש הקרוב, זורקים לחלל האוויר "האם זאוס הכל-יכול יכול לברוא אבן שהוא לא יכול להרים?" ובורחים.
אבל מעבר לשעשוע, פרדוקסים מהווים נקודת השקה מעניינת בין מתמטיקה לפילוסופיה. משך שנים, טענות פרדוקסליות היו דרך בה גדולי התיאורטיקנים במדע איתגרו אחד את התיזה של השני. מהפרדוקס של זנון שבא להדגים את הבעתיות בסכימה אינסופית, ודרך הפרדוקס של ראסל שהשפיע על כל הניסוח הפורמאלי של הלוגיקה ותורת הקבוצות. חלק מהפרדוקסים נותרו שנים רבות בהמתנה לפתרון. חלקם עדיין ממתינים.

מה שחשוב עבורינו, הוא שפרדוקסים רבים יכולים להיות אתגר אינטלקטואלי שילדים ומבוגרים יכולים להנות מהם גם יחד. לכולנו ייצא בוודאי להיתקל במהלך החיים בכמה מהיותר מוכרים שבהם: “המשפט הזה הוא שקר”, מה יקרה אם מכונית שעוברת כל מכשול נתקלת במכשול בלתי עביר? אם הייתי חוזר בזמן – האם הייתי יכול להרוג את סבא של סבא שלי? וכו'.
אנחנו ננסה כאן להתעמק דווקא בכמה פרדוקסים טיפונת פחות טריוואליים אך עדיין יכולים לעניין גם חושבים צעירים. כמובן שככל שהילד או הילדה יותר בוגרים ומסוגלים לחשיבה אנליטית, כך ניתן להיכנס איתם יותר לעומק התסבוכת הלוגית שמציב הפרדוקס ואפילו להבנת הפתרון שלו.

— פרדוקס הערימה —

ראשון ברשימה שלנו הוא "פרדוקס ערימת החול" אשר בהשראתו גזלתי מהילדה את ההנאה מהיוגורט של הבוקר. בצורתו המקורית והרישמית הפרדקוס מתבסס על הסקה אינדוקטיבית בת שני שלבים:
1. גרגר חול אחד אינו ערימה.
2. אם יש לי ביד מספר כלשהו של גרגרי חול בודדים שעדיין אינם ערימה – עוד גרגר אחד בלבד(!) לא יהפוך אותם לערימה.
ננסה להבין את המסקנה המתבקשת משתי הטענות הללו: נניח כי יש לי ביד גרגר חול בודד. לפי טענה 1 – לא מדובר בערימה. עכשיו נניח כי הוספתי לי ליד עוד גרגר חול אחד. רק אחד. לפי טענה 2 – עדיין אין לי ביד ערימה, כי הוספה של גרגר בודד לא הופכת משהו שהוא "לא ערימה" למשהו שהוא "כן ערימה". אז עכשיו יש לי ביד שני גרגרי חול שאינם ערימה. ואם אוסיף להם עוד גרגר אחד? ובכן, אותו דבר… וכו' וכו'. המחשה פיסית יכולה מאוד לעזור כאן לילדים צעירים. סוכר, חרוזים קטנים, הכל עובד.

נמשיך: בעצם אנחנו מבינים כי אם נתחיל מגרגר חול בודד ונוסיף בכל פעם גרגר אחד בלבד – לעולם לא נקבל ערימה של חול! והרי זהו אבסורד. אנחנו יודעים שזה לא נכון. אבל… מתי זה יקרה? באיזה שלב אוסף גרגרי החול הבודדים שלנו הופכים לערימה? בין הגרגר ה 255 לגרגר ה 256? אז 255 גרגרי חול אינם ערימה ו 256 כן? ממ… זה גם מוזר, וגם סותר את טענה 2.

פתרון:
פרדוקס הערימה שייך שייך למשפחת המילוליים – פרדוקסים המתבססים על חוסר בהירות של שפה. הבעיה שלנו נעוצה בהגדרת המושג "ערימה" כמצב בינארי: או שמה שמונח מולינו הוא ערימה, או שלא. מכאן אנחנו גוזרים את שני הטענות שהעלנו קודם, ומכאן מגיע פתרון מקובל לפרדוקס: במקום להגדיר ערימה כמצב בינארי, נגדיר ערימה כתיאור רציף ומתמשך. במילים אחרות, במקום להסתכל על אוסף גרגרים ולנסות להחליט האם מדובר בערימה, נחליט עד כמה מדובר בערימה. עם ההגדרה החדשה אנחנו מבינים כי בעצם לאורך כל הדרך, ובכל שלב ושלב הייתה לנו ביד ערימת חול! פשוט רמת ה"ערמתיות" שלה הלכה וגברה עם כל גרגר שהוספנו.

— פרדוקס הסוס —

הנה פרדוקס שתלמידי תיכון יאהבו. מכירים אינדוקציה? שיטת ההוכחה הפשוטה, אולי אפילו בנאלית, אך עם זאת אלגנטית שמסיבה עלומה מותירה כל כך הרבה תיכוניסטים מבולבלים וסקפטיים. הפסטה ברוטב עגבניות של עולם ההוכחות המתמטיות, אם תרצו. אז פרדוקס הסוס נולד על מנת להדגיש עד כמה הוכחות טכניות כמו אינדוקציה עלולות להוביל לתוצאות קצת מצחיקות ללא תשומת לב מספקת לפרטים. ראשית רענון קטן רק ליישור קו: אינדוקציה היא הסקה מן הפרט אל הכלל. יש לנו סדרה של פרטים ואנחנו רוצים לבחון נכונות של טענה לגבי כולם. נגיד היינו רוצים להוכיח שכל מספר בעולם עם 0 בספרת האחדות הוא כפולה של 5. ובכן, אפשר לעבור אחד אחד ולבדוק – משימה לא קלה. אפשרות אחרת היא לקחת איבר איבר אחד בלבד, ולהסיק ממנו לגבי כל השאר – אינדוקציה.

הוכחה באינדוקציה מתבצעת בשני שלבים: 1. נוכיח כי אם (אם!) הטענה שלנו נכונה עבור פרט מסויים – היא תהיה נכונה גם עבור הפרט הבא אחריו בסדרה. דוגמא טריוואלית: נניח כי יש גן מיוחד שעושה עיניים בצבע סגול, ושהוכחנו שהגן הזה חסין מוטאציות ועובר תמיד בתורשה. כלומר, אם (אם!) לאדם מסויים יש עיניים סגולות – גם לבנו או ביתו יהיו עיניים סגולות. 2. נראה כי הטענה נכונה עבור הפרט הראשון בסדרה. בדוגמא שלנו, עדיין לא הוכחנו כלום. מה אם לא קיים בעולם אדם הנושא את הגן? אבל! אם כן קיים אדם כזה (נקרא לו יוסי) אז מספיק שליוסי יש עיניים סגולות – ומיד נסיק באינדוקציה כי לכל שרשרת צאצאיו של יוסי מעתה ועד עולם יהיו עיניים סגולות גם כן! שימו לב שהוכחנו את הטענה עבור ילדים שעוד לא נולדו ולא יוולדו גם בעוד אלפי שנים מהתבוננות באדם אחד בלבד. נחמד, לא? ועכשיו לפרדוקס.

אז מסתבר שבניגוד למה שחשבתם, כל הסוסים בעולם הם באותו צבע. יאפ. והנה איך מוכיחים זאת באינדוקציה: 1. אם(!) הייתי יודע שכל קבוצת סוסים בעולם מגודל x היא הומוגנית בצבעה – אזי גם כל קבוצה מגודל x + 1 סוסים הייתה הומוגנית בצבעה. ההסבר טיפה טריקי, תשארו איתי: נניח שהיינו יודעים כי כל קבוצה בת x סוסים בעולם מכילה סוסים בצבע אחד בלבד. חום למשל (שימו לב! כל קבוצה בת x סוסים. אתם מספרים לי על קבוצה בת x סוסים – אני אוטומטית יודע שהם כולם חומים). עכשיו נניח כי אכן יש לי באורווה בדיוק x סוסים (כאמור כולם חומים), ונניח כי הגיע לאורווה סוס חדש. אני לוקח את אחד הסוסים הותקים, מוציא אותו מהאורווה, ומקבל שוב קבוצה בת x סוסים שכוללת הפעם גם את הסוס החדש. והרי הנחנו כי כל קבוצה בת x סוסים מכילה סוסים חומים בלבד – כלומר, גם הסוס החדש חייב להיות חום! והנה הוכחנו כי אם (אם!) כל קבוצה בעולם בת x סוסים היא הומוגנית בצבעה – גם כל קבוצה בת x + 1 סוסים בעולם היא הומגנית בצבעה. על מנת להבין טוב את הטענה, מומלץ לקחת דף ולצייר קבוצה בת 3 סוסים ולהקיף אותם בעיגול. נניח שכל 3 סוסים בעולם הם באותו צבע, אז נצבע אותם בצבע אחיד. עכשיו נוסיף לידם סוס רביעי ונקיף בעיגול אותו ועוד 2 סוסים אחרים. כך יצרנו קבוצה חדשה בת 3 סוסים, וכאמור הם כולם חייבים להיות באותו צבע! אז גם הסוס החדש מקבל את אותו הצבע כמו השאר והוכחנו כי אם כל 3 סוסים בעולם הם באותו צבע – גם כל 4 סוסים בעולם הם באותו הצבע. וכך גם ל 5, ל6 וכו'… 2. לא לשכוח! אנחנו עדיין צריכים להראות שהטענה נכונה עבור הפרט הראשון בסדרה. ואכן, קבוצת סוסים בת סוס אחד בלבד – היא קבוצה הומוגנית בצבעה! יש בה רק סוסים מאותו הצבע. מסקנה: הוכחנו כי כל קבוצת סוסים בעולם, בכל גודל כלשהו – מכילה סוסים מצבע אחד בלבד…

פתרון

אז מה פספסנו? הרי ברור לנו שזהו פרדוקס. ובכן, הבעיה נמצאת במעבר בין קבוצת סוסים מגודל 1, לקבוצת סוסים מגודל 2 – זה המקרה היחיד בו הטריק שעשינו עם הסוס החדש לא עובד. (נסו לחזור על ההוראות עם הדף והצבע רק במקום 3 סוסים התחילו עם סוס 1). לכן הפריט הראשון בסדרה שלנו הוא לא קבוצת סוסים מגודל 1 אלא קבוצה מגודל 2, והרי ברור שעבור קבוצה בת שני סוסים הטענה אינה נכונה. זה לא נכון שכל זוג סוסים בעולם הוא מאותו צבע.

— הפרדוקס של ראסל —

"קבוצת כל הקבוצות שאינן כוללות את עצמן". שנייה לפני שאתם שוברים את הראש או את הטלפון, לכו איתי פה צעד צעד. יהיה בסדר. אם עוד לא הבאתם דף ועט – זה הזמן. על פי הפולקלור העממי, המתמטיקאי הגרמני גוטלוב פרגה שקד בתחילת המאה ה 19 על כתיבת ספר היסודות ללוגיקה המודרנית בהתבסס על תורת הקבוצות של בן ארצו המתמטיקאי פיליפ קנטור. יום אחד, בשיא עבודתו על הספר, קיבל פרגה מכתב מאת הפילוסוף הבריטי ברטראנד ראסל, שהכיל שאלה אחת: "האם קיימת קבוצה הכוללת את כל הקבוצות שאינן כוללות את עצמן?". ראשית נסביר מה זו בעצם קבוצה; קבוצה היא אוסף של דברים. ככה, פשוט. אילו דברים? ובכן, על פי תורתו של קנטור (שנקראת "תורת הקבוצות הנאיבית") התשובה היא: מה שתרצו. קבוצת כל הילדים ששמם מתחיל באות אלף. קבוצות כל הילדים הג'ינג'ים. קבוצת כל הילדים. קבוצה המורכבת מהספרה 4, מהשם "דונאלד טראמפ", מהאיש "דונאלד טראמפ" ומתפוז. קבוצה המכילה רק את המילה "שלום". ממש מה שתרצו. כתבו עם הילד או הילדה על דף מספר קבוצות שאתם יכולים לחשוב עליהן בעצמכם. אם תרצו להיות פורמאליים, אז הסימון המקובל לקבוצה הוא בין סוגריים מסולסלים. לדוגמא: { כיסא, ספר, אבא }, { שחור, כחול, ירוק, לבן, אדום }, וכו'. נמשיך: איברים של קבוצה יכולים להיות גם קבוצות בעצמם. במילים אחרות, קבוצה יכולה להיות מורכבת מאוסף של קבוצות אחרות. למשל, קבוצת כל הקבוצות שרשמתם עכשיו על הדף. הוסיפו גם אותה לאוסף הקבוצות שלכם (מספיק לרשום { כל הקבוצות האחרות שכאן בדף }). ציירו גם חיצים קטנים ממנה לשאר הקבוצות שרשמתם קודם ובעצם מהוות את אבריה. פה זה נהיה מעניין: אם אמרנו שאיברי קבוצה יכולים להיות כל דבר בעולם, אז בעצם איבר בקבוצה יכול להיות גם היא עצמה! קחו למשל את הקבוצה האחרונה שהוספנו – קבוצת הקבוצות שרשומת בדף. מה אתם אומרים? האם היא כוללת גם את עצמה? ובכן, היא קבוצה… והיא רשומה בדף… אז כמובן שכן! ציירו אם כן עוד חץ ממנה – לעצמה. בואו נחשוב עכשיו על האוסף של כל הקבוצות בעולם שכוללות את עצמן – כל הקבוצות שיש להן חץ מעצמן לעצמן. תארו לכם כי כל הקבוצות הללו ארגנו לעצמן מסיבה סגורה וסודית עבורן בלבד. בכניסה למסיבה עומד שומר, ובודק את רשימת אברי כל קבוצה שרוצה להיכנס. רק אם הקבוצה עצמה כלולה בתוך עצמה – היא מורשית להמשיך פנימה. אילו קבוצות מבין אלו שרשמנו על הדף יזכו להיכנס למסיבה? (תשובה: רק האחרונה כמובן. היא היחידה שכוללת את עצמה). אולי כבר שמתם לב, שגם אוסף כל הקבוצות במסיבה – הוא בעצמו קבוצה! קבוצה ענקית של המון המון קבוצות. וגם קבוצות הקבוצות הזו רוצה להיכנס למסיבה. האם לדעתכם היא תורשה להיכנס?… ובכן, לצערה היא תשאר בחוץ. כשהשומר בודק את רשימת האיברים שהיא כוללת הוא מוצא המון קבוצות אחרות – כל הקבוצות בעולם שכוללות את עצמן. אבל היא עצמה לא אחת מהן, שכן היא איננה כוללת את עצמה (שימו לב שכאן אין עדיין פרדוקס! הקבוצה לא כוללת את עצמה ולכן גם לא תכלול את עצמה. הכל בסדר. שווה להתעכב קצת על החלק הזה אם הוא לא יושב מספיק טוב). וכמו בכל דרמה טובה, השמועה על המסיבה הסודית הגיעה לאוזני כל הקבוצות האחרות – אלו ש*לא* כוללות את עצמן, וגם הן החליטו לארגן לעצמן מסיבה פרטית. הפעם השומר בודק את אברי כל קבוצה המבקשת להיכנס ורק במידה ו*איננה* כוללת את עצמה – היא מורשית פנימה. וגם הפעם, קבוצות כל הקבוצות שנכנסו רוצה לקחת חלק במסיבה. היא נעמדת מול השומר, ואומרת "גם אני, כמו קבוצת הקבוצות מהמסיבה השנייה, לא כוללת את עצמי. לכן אני יכולה להיכנס". השומר בוחן את רשימת אברי הקבוצה ושואל: "אני רואה שאת מכילה המון קבוצות אחרות. מיהן הקבוצות הללו?". מחייכת קבוצת הקבוצות ועונה בגאווה: "קבוצת כל הקבוצות שלא כוללות את עצמן. אלו שמוזמנות למסיבה". השומר מרים את עיניו מהדף במבט מבולבל ושואל בתמימות: "אבל.. למה את לא מופיעה ברשימה איברייך? למה אין לך חץ חזרה לתוך עצמך? הלא אמרת שגם את קבוצה, ושאת לא כוללת את עצמך…" חיוכה של הקבוצה נמוג. היא הבינה כי היא תקועה בפרדוקס. אם היא איננה כלולה ברשימת איבריה – היא קבוצה שאינה כוללת את עצמה, ולכן היא צריכה להוסיף את עצמה לרשימת איבריה. למתוח חץ מעצמה לעצמה. אבל… ברגע שתעשה זאת, היא תהפוך לקבוצה ש*כן* כוללת את עצמה ולכן צריכה להסיר את עצמה מהרשימה…

פתרון

קצת כמו פרדוקס הערימה, גם הבעיה בפרדוקס של ראסל נעוצה בהגדרות מושגים. הפתרון לפרדוקס היה כל כך מורכב עד שפרגה זנח באמצע את כתיבת הספר שלו והוביל לפיתוח גישה חדשה לגמרי ללוגיקה הפורמאלית: "תורת הקבוצות האקסיומטית". בפשטות ופשטנות, הפתרון אומר שלא ניתן להגדיר קבוצה כאוסף אקראי של כל מה שבא לנו. קבוצות צריכות להיבנות על ידי כללים מתוך איברים קיימים, וכך נימנע מקיומה של "קבוצת כל הקבוצות".

למחרת אותו היום עם היוגורט נסענו לנו ברכב לטיול ובאמצע הדרך אישתי ביקשה שאגביר את המזגן. המשועממת הקטנה מאחור שיודעת שאבא אוהב שהיא שואלת שאלות, ניצלה את ההזדמנות כדי לברר איך מזגן עובד. סיפקתי איזה הסבר שיטחי על הגז (מספיק כדי שהיא לא תקלוט שאין לי באמת מושג…) והוספתי שככל שמסובבים את הכפתור ימינה – הוא מוציא יותר קור. פתאום היא אמרה: "אהה אבא! זה כמו עם היוגורט!". לא הבנתי אותה כל כך אז ביקשתי שתסביר. "בהתחלה חם" היא אמרה, "ואז הוא מוציא טיפה קור. ואז עוד טיפה. ועוד טיפה… ופתאום קר!" ניסינו למצוא יחד עוד דוגמאות וברוח התקופה היא חשבה על וירוסים: אחד לא באמת משנה. גם לא שניים. אבל תוסיף לגוף עוד ועוד מהם ובסוף תהיה חולה. האמת היא שהתחלתי לכתוב כאן גם על טענה שגוייה שהיא העלתה – גשם. הסברתי לה שזה לא נכון כי או שיורד גשם או שלא, אבל ממש עכשיו תוך כדי כתיבה אני מבין שהיא צדקה ואני טעיתי! אף אחד לא קורה לטיפה אחת "גשם". גם לא לשתיים. אז כמה טיפות דרושות כדי להפוך ל"גשם"? עכשיו, אם אתם חושבים שאני מספר לכם את זה רק בתור אב גאה אתם טועים לחלוטין. זה החלק העיקרי אבל ממש לא "רק". אני מספר את זה כי באותו בוקר עם היוגורט היה נדמה כאילו היא לא באמת הבינה או אפילו לא כל כך הקשיבה. אבל אולי לפעמים גם דברים מורכבים כמו פרדוקסים בכל זאת מצליחים להדהד תובנות בראשם של ילדים, גם אם נדמה שהפרטים עברו מעליהם. אולי. זו כבר שאלה לאנשי מקצוע אחרים. אני אלך לספר לילדה שהיא צדקה ואני טעיתי, היא מתה על זה.

הכותב המוכשר: יוגב חדד

בן 37 למרות ההכחשות. שחקן כושל ומורה פרטי לא רע בעבר. בעל תואר במתמטיקה ומדעי המחשב בהווה. מתפרנס מפיתוח תוכנה בלב ההייטק של הסיליקון וואלי בקליפורנה. מתגעגע ללימוד מתמטיקה וחשיבה בפתח תקווה, אותם הוא מוציא על שתי בנות בגילאי 6 ו 3, כך שהן עדיין לא יכולות להתנגד. נשוי באושר לאשה מדהימה שיכולה להתנגד… (אבל גם נהנית מזה אם הוא לא חופר לה יותר מידי)