קבוצות

הכותב הוא יוגב חדד, איש מוכשר עם רעיונות נפלאים שגר רחוק מדי.
הוא ממציא משחקים בהשראת מתמטיקה, אבל לא צריך לדעת מתמטיקה כדי לשחק בהם. תהנו!

אם יש משהו שילדים אוהבים זה גלידה, משחקים, ומתמטיקה תיאורטית. שניים מן הדברים הללו משתלבים בצורה הרמונית, טבעית ומתבקשת. אבל למי יש כח לנקות אחרי משחקים עם גלידה, אז בואו נשחק דווקא עם המתמטיקה. קצת פחות מתבקש בחום יולי-אוגוסט, אבל הרבה פחות דביק!

** בלון

אחת מאבני הבסיס של המתמטיקה המודרנית היא תורת הקבוצות, והיא משרתת אותנו כבר כ 150 שנים. ברשותכם, דקה של יישור קו:

מהי ״קבוצה״ מתמטית?

״קבוצה״ היא אוסף של איברים שונים זה מזה. כל. איברים. שהם. למשל: { שולחן, כסא, המספר 7, ארנבת }, או למשל קבוצה בעלת כמות איברים אינסופית: { כל המספרים הזוגיים }. חשוב לזכור! קבוצה לא דורשת הגדרת קשר בין איבריה. קבוצה לא דורשת הגדרה של סדר או לוגיקת יחס כלשהי בין איבריה. פשוט אוסף של איברים. זה הכל.

** צמיג של מכונית

אז איך אנחנו לוקחים את התורה המתמטית המופלאה הזו ועושים ממנה משחק שמתאים גם לילדים? או. טוב ששאלתם. ובכן, הרעיון הבסיסי מאוד פשוט: אחד המשתתפים חושב על קבוצה בראש, השאר צריכים לגלות מהי.

עכשיו נכון שהרגע הדגשנו שרשמית קבוצה מתמטית אינה אלא אוסף אקראי של איברים. אבל במסגרת המשחק, נגביל את עצמנו רק לקבוצות שנוכל להגדיר במשפט אחד קצר. דוגמאות:
{ לחם, תירס, מרק … } = מאכלים.
{ דג, לוויתן, תמנון… } = חיות ים.
{ מלח, מתוק, משה… } = מילים שמתחילות באות מ״ם.

(ותנו לעצמכם תפיחה קלה על השכם אם שמתם לב שגם פה מדובר על קבוצה – קבוצת הקבוצות שניתן להגדיר במשפט אחד קצר!)

מהלך המשחק:

• אחד המשתתפים מגדיר לעצמו קבוצה בראש.
• אותו משתתף אומר בקול איבר אחד שנמצא בקבוצה.
• שאר המשתתפים מתחילים לנחש איברים נוספים שנמצאים בקבוצה. על כל ניחוש יוצר הקבוצה עונה ב ״כן״ (אם האיבר נמצא בקבוצה), ״לא״ (אם האיבר אינו בקבוצה), או ״אי אפשר לענות״ (במידה והתשובה תלוית הקשר).
• אחרי כל 10 ניחושים, יוצר הקבוצה מגלה מיוזמתו עוד איבר שנמצא בקבוצה. לחילופין, המנחשים יכולים לבקש לגלות איבר *שלא* נמצא בקבוצה.
• ממשיכים עד ששאר המשתתפים מצליחים לנחש את הגדרת הקבוצה המדויקת (גם ניחוש לא מוצלח של הגדרת הקבוצה נספר כאחד מעשרת הניחושים מהסעיף הקודם).

והנה החלק שקריטי לזכור ולהבין כי הוא מה שמייחד את המשחק שלנו: אנחנו עוסקים בקבוצה מתמטית שהיא אוסף של איברים. או שאיבר הוא חלק מאיברי הקבוצה – או שאיבר הוא לא חלק מאיברי הקבוצה. אין בערך. אין ״קשור ל…״. (במידה והמטרה היא הקנייה של דפוסי חשיבה לילדים נזכור שבעתיד הם יצטרכו להגדיר קבוצות במדויק בהרבה שלבים בחיים. אם זה בתיכון עם צורות גיאומטריות כשצריך להבין שצורה שייכת לקבוצת הריבועים **ולא** שייכת לקבוצת המלבנים, או אם זה באוניברסיטה כשיצטרכו להגדיר את קבוצת האיזומורפיזמים בין מרחבים וקטורים).

** סירת גומי

דוגמה למשחק:

• משתתף אחד מגדיר לעצמו בראש את הקבוצה ״דברים מעופפים״.
• הוא מגלה לשאר איבר מהקבוצה: ״מטוס״.
• שאר המשתתפים מתחילים לנחש: ״מכונית״.
• יוצר הקבוצה עונה: ״לא״.
• השאר מנחשים: ״חללית״.
• יוצר הקבוצה עונה: ״כן״.

עשו לעצמכם בדיקה אם הבנתם; השאר מנחשים: ״שדה תעופה״. מה דעתכם? האם יוצר הקבוצה צריך להגיד ״כן״ או ״לא״?
ובכן התשובה היא חד-משמעית ״לא״. לא לא לא. כפי שציינו, לא מדובר פה ב״הקשר״, אלא ב*קבוצה*. קבוצת הדברים המעופפים. שדה תעופה אינו דבר מעופף, ולכן הוא לא איבר בקבוצה.  

דוגמה נוספת:

• משתתף אחד מגדיר לעצמו בראש את הקבוצה ״ביטויים בני שתי מילים״.
• הוא מגלה לשאר איבר מהקבוצה: ״תות שדה״.
• שאר המשתתפים מתחילים לנחש: ״תפוז״.

מה יענה יוצר הקבוצה? ובכן, פה התשובה צריכה להיות ״אי אפשר לענות״ מפני שהמילה ״תפוז״ הינה בעצם ראשי תיבות, ולא ברור האם הכוונה היא למילה המייצגת את הפרי או למשמעות ראשי התיבות – ״תפוח זהב״. ככלל אצבע, כדאי לענות ב ״אי אפשר לענות״ בכל פעם שברור כי התשובה רק תבלבל את שאר המשתתפים ותקשה עליהם מלאכותית לגלות את הגדרת הקבוצה.

** כדור ים

כמה מגבלות על קבוצות ״בעייתיות״:

• לקבוצה חייבת להיות הגדרה בודדת. כלומר: שמות בני אדם שהם גם שמות של בעלי חיים – מותר. שמות בני אדם שהם גם שמות בעלי חיים ובעלי שלוש אותיות – אסור.
• כאמור, אסור לבחור קבוצות שההגדרה שלהן היא ״דברים שקשורים ל…״. לדוגמא: { שקל, תור, רחוב הרצל } = דברים שקשורים לבנק. זה לא. מסנן הרבה התחכמויות מיותרות.
• כדי להימנע מקבוצות טריוויאליות, קבוצה חייבת לכלול לפחות 10 איברים.
• כמו כן כדי למנוע קבוצות כוללניות מידי, המשתתף שבוחר את הקבוצה חייב להיות מסוגל לציין בקלות לפחות 10 איברים **שׁלא** נמצאים בקבוצה.

במידה ורוצים להפוך את המשחק לתחרותי ניתן לספור כמה ניחושים לקח למשתתפים לגלות את הגדרת הקבוצה. המנצח הוא זה שהצליח להגדיר קבוצה שדרשה הכי הרבה ניחושים כדי להגדיר אותה במדויק.

—-

אז עכשיו אולי כבר הבנתם שלאורך הטקסט פיזרתי איברים של קבוצה. אני אוסיף עוד איבר **שלא** נמצא בקבוצה: כדור טניס. יכולים לנחש את הגדרתה?… 🙂